Breve História da Mecânica Analítica

Redigi um texto para compartilhar com os amantes da Física os principais aspectos da história da Mecânica Analítica. Espero que gostem e reportem possíveis erros.

Organização:
1) As Leis de Newton
2) A Equação de Lagrange
3) A Equação de Euler
4) As Equações de Hamilton

O Teorema de Cantor - Pt. 4

A CHAVE PARA A INFINITUDE DOS INFINITOS


No seu artigo de 1891, Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, Cantor apresentou pela primeira vez o argumento que ficou conhecido como Diagonal de Cantor. Neste artigo, encontra-se também a famosa prova de que o conjunto potência P(A) tem cardinalidade estritamente maior que o conjunto A, usando a técnica matemática conhecida como redução ao absurdo (do latim reductio ad absurdum).


Demonstração:


Suponhamos, por absurdo, que existe uma correspondência um para um entre A e P(A), ou seja, que existe uma função f injetora que liga os dois conjuntos. Mostraremos que essa função não é nem sobrejetora. Foi este tipo de argumento que usamos para provar que R tem cardinalidade maior que N.


Podemos dividir os elementos de A em elementos bons ou maus:


Um elemento é dito bom se ele está no conjunto ao qual ele está ligado. 
Um elemento é dito mau se ele não está no conjunto ao qual ele está ligado.


Exemplificando com o conjunto dos números naturais:


{1} -> {1, 2}                              1 é bom
{2} -> {1, 3}                              2 é mau
{3} -> {2, 3, 4, 5, 6}                   3 é bom
{4} -> {1, 3, 5, 7, 9, ...}              4 é mau


Agora considere o subconjunto dos elementos maus. A qual elemento de A ele está ligado? Não sabemos, mas este elemento só pode ser bom ou mau.


* Ele é bom - impossível, porque ele estaria ligado a um subconjunto que não o contém e seria, portanto, mau.
* Ele é mau - impossível, porque ele estaria ligado a um subconjunto que o contém e seria, portanto, bom.


Genial, não? Uma prova tão simples e uma implicação tão forte. Já ouviu falar da frase "eu sou mentiroso", que necessariamente leva a uma contradição? Ocorre exatamente o mesmo paradoxo. Analise a frase supondo que quem a diz é uma pessoa mentirosa ou não e veja o que acontece.


Temos, portanto, que este subconjunto de A não pode estar ligado a um elemento de A e, desta forma, que há mais subconjuntos de A do que elementos de A.

Teorema de Cantor: 

cardinalidade de P(A) > cardinalidade de A.

Quanto dá infinito mais infinito? - Pt. 3

Como consequência da existência de vários infinitos, temos uma álgebra para eles.

Primeiro vamos definir o que é chamado conjunto potência de um conjunto. Conjunto potência de um conjunto A é o conjunto dos subconjuntos de A e denotamos P(A). Exemplo:

A={a, b, c}
P(A)={{vazio}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Quando o conjunto A é finito e tem cardinalidade n, o conjunto potência tem cardinalidade 2 elevado a n. No exemplo acima, A tem 3 elementos e P(A) tem 8 (= 2 elevado a 3) elementos.

Quando o conjunto é infinito, fica mais difícil fazer esta conta (quanto vale 2 elevando a infinito?). No entanto, Cantor demonstrou que P(A) tem cardinalidade estritamente maior que A, mesmo que A seja infinito. Este teorema é conhecido como Teorema de Cantor. Demonstrá-lo-ei em outro post.

Podemos então, chegar à uma nova formulação da Hipótese do Contínuo:
A cardinalidade dos reais é a mesma que a do conjunto potência dos naturais?


Demonstramos que o infinito dos reais é maior que o dos naturais no último post, mas o Teorema de Cantor afirma que o conjunto dos subconjuntos dos naturais também tem mais elementos que os naturais.

Depois veremos como fica esta discussão, por enquanto vejamos como trabalhar com números transfinitos.

Como decorrência do Teorema de Cantor, temos que existem infinitos infinitos. Dado um conjunto infinito, criamos outro maior que ele através do seu conjunto potência. Então, dado um conjunto cuja cardinalidade é aleph-n, definimos a álgebra dos números transfinitos da seguinte forma (a é um número real qualquer):

A álgebra não é intuitiva. No fundo ela diz que podemos fazer operações simples (adição e multiplicação) com um número transfinito que não vamos aumentá-lo se a operação não envolver um transfinito maior do que ele. No caso em que m > n, temos:

Como se vê, a álgebra é baseada na majoração dos infinitos e permite que trabalhemos com infinitos como se fossem números reais.

Por fim, digo qual é a Hipótese Generalizada do Contínuo:

O conjunto potência de um conjunto infinito sempre tem a cardinalidade do próximo infinito?

A parte realmente divertida disto tudo é que a Hipótese Generalizada do Contínuo não pode ser provada a partir da Hipótese do Contínuo, ou seja, após tanta discussão, subimos apenas o primeiro degrau de uma longa escada.

De fato, de uma escada infinita.

Quantos infinitos existem? - Pt. 2

QUANTOS INFINITOS EXISTEM?

Um conceito chave que deve ser fixado neste momento é o de enumerabilidade. 

Um conjunto é enumerável se e somente se é possível uma bijeção entre ele e o conjunto dos números naturais.

Bijeção entre dois conjuntos significa que há sempre uma correspondência um para um entre eles. Exemplos:

Vemos uma tabela com a correspondência entre os naturais e, você deve ter notado, os quadrados perfeitos, os inteiros, os pares e os ímpares. Isso, no fundo, significa que estes conjuntos podem ser ordenados de forma organizada, porque o conjuntos dos naturais nada mais é do que um conjunto de índices. Um pouco mais complicado (mas possível) é ordenar os racionais.

Esta é a prova que a cardinalidade dos inteiros é a mesma destes conjuntos e, de fato, de muitos outros (divirta-se criando infinitos conjuntos com esta cardinalidade).


Os infinitos dos inteiros, dos quadrados perfeitos, dos pares, dos ímpares, dos racionais, ... , são todos iguais.

 Cantor definiu que dois conjuntos tem a mesma cardinalidade quando é possível uma bijeção entre seus elementos, mesmo que os conjuntos tenham cardinalidade transfinita [ou seja, infinitos elementos].

Agora vamos adiante: provemos que o conjunto dos números reais é não-enumerável. Para isto, usaremos o famosíssimo argumento da Diagonal de Cantor.

3  1  4  1  5  9  2  6  ...
1  2  4  1  7  3  7  2  ...
1  5  6  7  8  3  6  3  ...

3  5  3  5  3  5  3  5  ...

7  8  7  6  8  6  7  5  ...

6  4  9  5  9  3  9  6  ...

2  3  4  5  6  1  2  3  ...

1  8  9  7  8  6  7  5  ...

.. .. .. .. .. .. .. .. ..

Vamos supor, por absurdo, que seja possível fazer uma lista, evidentemente infinita, com todos os números reais de forma ordenada. Neste caso, você poderia dizer: o 2542º real é o 23876283..., por exemplo. Vamos construir um novo real, da seguinte forma:

1) Pegue o 1º algarismo do 1º número. Escolha um algarismo diferente.

2) Pegue o 2º algarismo do 2º número. Escolha um algarismo diferente.

3) Pegue o 3º algarismo do 3º número. Escolha um algarismo diferente.

E daí em diante. O novo número, com os algarismos escolhidos, será diferente de todos os outros da lista, porque difere de cada um pelo menos por um algarismo.


LEIA QUANTAS VEZES FOR NECESSÁRIO PARA ENTENDER ISTO!

Se mesmo com uma lista infinita de reais que parecia ordenada podemos criar um novo real diferente dos demais, não é possível estabeler uma bijeção entre R e N. Temos portanto, que a cardinalidade de R é maior que a de N.


O infinito dos reais é maior que o dos naturais.

Qual o tamanho do infinito? - Pt. 1

Para responder a esta perguntar, temos que saber primeiro quem foi Georg Cantor. Georg Ferdinand Ludwig Phillip Cantor (1845 - 1918) nasceu na Rússia mas viveu na Alemanha, estudando com grandes nomes (Weierstrass e Kummer). É amplamente conhecido pelos trabalhos na Teoria dos Conjuntos e pela proposição de conceitos muito importantes, como cardinalidade de um conjunto (cardinalidade é a quantidade de elementos do conjunto) e número transfinito (a cardinalidade de um conjunto infinito é um número transfinito). A Hipótese nos fascina tanto por envolver conceitos interessantes e contra intuitivos, como o tamanho dos infinitos: são todos iguais?

Cantor provou que:

i) a cardinalidade do conjunto dos naturais é a mesma dos inteiros e dos racionais [traduzindo: o infinito dos naturais é tão grande quanto o dos inteiros e o dos racionais]. A letra dada por Cantor para representar essa cardinalidade foi a 1ª letra do alfabeto hebraico aleph com o índice zero:

ii) a cardinalidade do conjunto dos reais é maior que aleph zero [ou seja, o infinito dos reais é maior que o dos naturais, inteiros e racionais]. Escrevemos que é aleph um:

Repita qualquer das afirmações acima para colegas de colégio ou faculdade leigos e você será considerado louco e rapidamente excluído do círculo social deles.

De fato, você seria banido e excomungando do convívio de todos os matemáticos pré-cantorianos se dissesse isso. Já dizia Gauss, que briga pelo posto de maior gênio matemático da história com uma meia dúzia de caras: "Eu protesto contra o uso de uma quantidade infinita como qualquer coisa completa, o que não é nunca possível em Matemática. O infinito é meramente uma maneira de falar, significando em verdade um limite do qual certas razões se aproximam indefinidamente perto."

A pergunta de Cantor foi a seguinte: existe algum conjunto cuja cardinalidade é intermediária entre essas duas, ou seja, maior que a dos racionais e menor que a dos reais? Existe algum infinito entre estes dois?

Esta é a Hipótese do Contínuo.

Quando Hilbert propôs sua lista de 23 problemas (1990) para a comunidade físico-matemática, este foi o 1º, e considera-se que tenha sido resolvido por Paul Cohen em 1963, após as contribuições de Kurt Gödel em 1938.

As Hipóteses do Contínuo

Achei de bom tom uma justificativa para o nome do blog. Então, darei uma breve explicação do significado das Hipóteses do Contínuo!

Primeiramente, há duas Hipóteses do Contínuo bem diferentes. Uma na área da Matemática conhecida como Teoria dos Conjuntos e é devida a Cantor. A segunda no contexto da Mecânica dos Fluidos e é a condição inicial básica sobre a qual se apóiam as teorias clássicas desta matéria.

Problema - OBM

A Olimpíada Brasileira de Matemática é merecidamente considerada uma das mais difíceis pelo menos da América Latina. Não é à toa que os brasileiros têm conquistado muitas medalhas na Olimpíada do Cone Sul e até mesmo na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO).

A seguir, mostrarei um exemplo de problema e em seguida sua resolução.

PROBLEMA 1 – FASE FINAL – NIVEL 3 – XXXI OBM - 2009

Esmeralda escreve 2009² números inteiros em uma tabela com 2009 linhas e 2009 colunas, colocando um número em cada casa da tabela. Ela soma corretamente os números em cada linha e em cada coluna, obtendo 4018 resultados. Ela percebeu que os resultados são todos distintos. É possível que esses resultados sejam todos quadrados perfeitos?

Nota: contribuições de Wagner Cháves para essa resolução.

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 4

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 3

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 2

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 1

Logaritmos e Exponenciais - Introdução

A seguir, uma série de posts esclarecendo de uma vez por todas o que são os logaritmos e as exponenciais.

O autor, José Carlos Eidam, é pesquisar e professor do Instituto de Matemática e Estatística da USP e, atualmente, meu professor de Cálculo IV. Ele permitiu que eu publicasse todo o rigor matemático por trás destas importantes funções matemáticas.

Percebamos que o raciocínio parece estar inverso: ele começa definindo o logaritmo natural como uma integral e, a partir das propriedades das integrais, demonstra propriedades dos logaritmos e termina por apresentar a exponencial como a função inversa do logaritmo.

Belíssimo.

Bonito Somatório

Quem acompanhou as demonstrações acerca de Integrais de Polinomiais viu, em meio a um lema, um somatório com propriedades muito especiais. Demonstrei a existência de um somatório cujo valor independe dos índices superior e inferior. Bonito, não?

Integrais de Polinomiais - Pt. 4

Integrais de Polinomiais - Pt. 3

Integrais de Polinomiais - Pt. 2

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Integrais de Polinomiais - Pt. 1

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(perceba que os desenhos não estão 100% coerentes com o texto)

Integral de Polinomiais - Introdução

A seguir haverá uma série de posts acerca de integrais de polinomais. No ano passado, fascinado pela definição rigorosa de Integral de Riemann dizendo que a integral é o limite da soma das áreas de retângulos sob uma curva, decidi tentar pôr em prática a definição.

Então, usando Matemática Elementar (e 1 limite trivial!) consegui deduzir a fórmula da integral indefinida de uma polinomial qualquer. Vamos poder ver uma relação MUITO interessante entre a fórmula para somar potências dos naturais (1+2+3+4+...+n, ou 1²+2²+3²+4²+...n², etc.) e a fórmula da integral.

Mal sabia eu que Fermat havia feito a mesma coisa séculos atrás (e de forma mais simples).

Problema de Geometria Analítica

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Problema de Álgebra - Pt. 2

PARTE II
Para responder à pergunta proposta no fim da Pt.1 (i.e., existem x, y e z que satisfaçam à equação?), propus a seguinte demonstração.

 

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Problema de Álgebra - Pt. 3

PARTE III
Propus também uma ampliação para o problema. OK, sabemos o valor da expressão E, sabemos quando que a expressão dada é verdadeira. Mas qual o valor de z em função de x e de y? O truque que usarei a seguir para resolver a equação de 3º grau é famoso e muito usado.

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Problema de Álgebra - Pt. 1

Os professores Jota e Arconcher, do Cursinho Anglo e do Colégio Leonardo da Vinci (ambos em Jundiaí-SP) propuseram um bonito problema de Álgebra, que transcrevo a seguir.

PROBLEMA
PARTE I
Se (x, y, z) são tais que

 Qual o valor da expresão E?

 A demonstração a seguir é do Professor Arconcher.