Qual o tamanho do infinito? - Pt. 1

Para responder a esta perguntar, temos que saber primeiro quem foi Georg Cantor. Georg Ferdinand Ludwig Phillip Cantor (1845 - 1918) nasceu na Rússia mas viveu na Alemanha, estudando com grandes nomes (Weierstrass e Kummer). É amplamente conhecido pelos trabalhos na Teoria dos Conjuntos e pela proposição de conceitos muito importantes, como cardinalidade de um conjunto (cardinalidade é a quantidade de elementos do conjunto) e número transfinito (a cardinalidade de um conjunto infinito é um número transfinito). A Hipótese nos fascina tanto por envolver conceitos interessantes e contra intuitivos, como o tamanho dos infinitos: são todos iguais?

Cantor provou que:

i) a cardinalidade do conjunto dos naturais é a mesma dos inteiros e dos racionais [traduzindo: o infinito dos naturais é tão grande quanto o dos inteiros e o dos racionais]. A letra dada por Cantor para representar essa cardinalidade foi a 1ª letra do alfabeto hebraico aleph com o índice zero:

ii) a cardinalidade do conjunto dos reais é maior que aleph zero [ou seja, o infinito dos reais é maior que o dos naturais, inteiros e racionais]. Escrevemos que é aleph um:

Repita qualquer das afirmações acima para colegas de colégio ou faculdade leigos e você será considerado louco e rapidamente excluído do círculo social deles.

De fato, você seria banido e excomungando do convívio de todos os matemáticos pré-cantorianos se dissesse isso. Já dizia Gauss, que briga pelo posto de maior gênio matemático da história com uma meia dúzia de caras: "Eu protesto contra o uso de uma quantidade infinita como qualquer coisa completa, o que não é nunca possível em Matemática. O infinito é meramente uma maneira de falar, significando em verdade um limite do qual certas razões se aproximam indefinidamente perto."

A pergunta de Cantor foi a seguinte: existe algum conjunto cuja cardinalidade é intermediária entre essas duas, ou seja, maior que a dos racionais e menor que a dos reais? Existe algum infinito entre estes dois?

Esta é a Hipótese do Contínuo.

Quando Hilbert propôs sua lista de 23 problemas (1990) para a comunidade físico-matemática, este foi o 1º, e considera-se que tenha sido resolvido por Paul Cohen em 1963, após as contribuições de Kurt Gödel em 1938.