No seu artigo de 1891, Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, Cantor apresentou pela primeira vez o argumento que ficou conhecido como Diagonal de Cantor. Neste artigo, encontra-se também a famosa prova de que o conjunto potência P(A) tem cardinalidade estritamente maior que o conjunto A, usando a técnica matemática conhecida como redução ao absurdo (do latim reductio ad absurdum).
Demonstração:
Suponhamos, por absurdo, que existe uma correspondência um para um entre A e P(A), ou seja, que existe uma função f injetora que liga os dois conjuntos. Mostraremos que essa função não é nem sobrejetora. Foi este tipo de argumento que usamos para provar que R tem cardinalidade maior que N.
Podemos dividir os elementos de A em elementos bons ou maus:
Um elemento é dito bom se ele está no conjunto ao qual ele está ligado.
Um elemento é dito mau se ele não está no conjunto ao qual ele está ligado.
Exemplificando com o conjunto dos números naturais:
{1} -> {1, 2} 1 é bom
{2} -> {1, 3} 2 é mau
{3} -> {2, 3, 4, 5, 6} 3 é bom
{4} -> {1, 3, 5, 7, 9, ...} 4 é mau
Agora considere o subconjunto dos elementos maus. A qual elemento de A ele está ligado? Não sabemos, mas este elemento só pode ser bom ou mau.
* Ele é bom - impossível, porque ele estaria ligado a um subconjunto que não o contém e seria, portanto, mau.
* Ele é mau - impossível, porque ele estaria ligado a um subconjunto que o contém e seria, portanto, bom.
Genial, não? Uma prova tão simples e uma implicação tão forte. Já ouviu falar da frase "eu sou mentiroso", que necessariamente leva a uma contradição? Ocorre exatamente o mesmo paradoxo. Analise a frase supondo que quem a diz é uma pessoa mentirosa ou não e veja o que acontece.
Temos, portanto, que este subconjunto de A não pode estar ligado a um elemento de A e, desta forma, que há mais subconjuntos de A do que elementos de A.
Teorema de Cantor:
cardinalidade de P(A) > cardinalidade de A.
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