Quanto dá infinito mais infinito? - Pt. 3

Como consequência da existência de vários infinitos, temos uma álgebra para eles.

Primeiro vamos definir o que é chamado conjunto potência de um conjunto. Conjunto potência de um conjunto A é o conjunto dos subconjuntos de A e denotamos P(A). Exemplo:

A={a, b, c}
P(A)={{vazio}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Quando o conjunto A é finito e tem cardinalidade n, o conjunto potência tem cardinalidade 2 elevado a n. No exemplo acima, A tem 3 elementos e P(A) tem 8 (= 2 elevado a 3) elementos.

Quando o conjunto é infinito, fica mais difícil fazer esta conta (quanto vale 2 elevando a infinito?). No entanto, Cantor demonstrou que P(A) tem cardinalidade estritamente maior que A, mesmo que A seja infinito. Este teorema é conhecido como Teorema de Cantor. Demonstrá-lo-ei em outro post.

Podemos então, chegar à uma nova formulação da Hipótese do Contínuo:
A cardinalidade dos reais é a mesma que a do conjunto potência dos naturais?


Demonstramos que o infinito dos reais é maior que o dos naturais no último post, mas o Teorema de Cantor afirma que o conjunto dos subconjuntos dos naturais também tem mais elementos que os naturais.

Depois veremos como fica esta discussão, por enquanto vejamos como trabalhar com números transfinitos.

Como decorrência do Teorema de Cantor, temos que existem infinitos infinitos. Dado um conjunto infinito, criamos outro maior que ele através do seu conjunto potência. Então, dado um conjunto cuja cardinalidade é aleph-n, definimos a álgebra dos números transfinitos da seguinte forma (a é um número real qualquer):

A álgebra não é intuitiva. No fundo ela diz que podemos fazer operações simples (adição e multiplicação) com um número transfinito que não vamos aumentá-lo se a operação não envolver um transfinito maior do que ele. No caso em que m > n, temos:

Como se vê, a álgebra é baseada na majoração dos infinitos e permite que trabalhemos com infinitos como se fossem números reais.

Por fim, digo qual é a Hipótese Generalizada do Contínuo:

O conjunto potência de um conjunto infinito sempre tem a cardinalidade do próximo infinito?

A parte realmente divertida disto tudo é que a Hipótese Generalizada do Contínuo não pode ser provada a partir da Hipótese do Contínuo, ou seja, após tanta discussão, subimos apenas o primeiro degrau de uma longa escada.

De fato, de uma escada infinita.