Problema - OBM

A Olimpíada Brasileira de Matemática é merecidamente considerada uma das mais difíceis pelo menos da América Latina. Não é à toa que os brasileiros têm conquistado muitas medalhas na Olimpíada do Cone Sul e até mesmo na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO).

A seguir, mostrarei um exemplo de problema e em seguida sua resolução.

PROBLEMA 1 – FASE FINAL – NIVEL 3 – XXXI OBM - 2009

Esmeralda escreve 2009² números inteiros em uma tabela com 2009 linhas e 2009 colunas, colocando um número em cada casa da tabela. Ela soma corretamente os números em cada linha e em cada coluna, obtendo 4018 resultados. Ela percebeu que os resultados são todos distintos. É possível que esses resultados sejam todos quadrados perfeitos?

Nota: contribuições de Wagner Cháves para essa resolução.