As Equações de Hamilton

Sir William Rowam Hamilton, tal qual os outros dois cientistas já mencionados, foi um dos maiores gênios da humanidade. Aos 12 anos, falava 13 línguas e foi considerado um ‘segundo Newton’ em Cambridge. Amplamente conhecido devido aos trabalhos em Mecânica e à criação dos Quatérnions (números com três partes imaginárias independentes e uma real).

Ao vislumbrar o poder das idéias de Lagrange sobre a mecânica, concebeu um conceito ainda mais geral e irrestrito, conhecido como Mecânica Hamiltoniana. Tal conceito, usando forças e coordenadas generalizadas, descreve o sistema através de uma função H denominada Hamiltoniano. Na sua Mecânica, obtém-se um sistema de 2n (n continua representando os graus de liberdade independentes) equações diferenciais ordinárias de primeira ordem que descrevem o sistema (evidendemente, o fato de haver mais equações costumar simplificar o problema, ao contrário do que pensamos inicialmente). Em um de seus artigos expondo a nova Mecânica, Hamilton demonstra a Equação de Lagrange de uma terceira forma.

A Equação de Lagrange

No século XVIII, Joseph-Louis Lagrange vislumbrou toda a Mecânica sob uma nova perspectiva, definindo uma nova função L, chamada posteriormente de Lagrangiana em sua homenagem, representativa do balanço energético do sistema. L = T – V, em que T é a energia cinética e V é a energia potencial do sistema em questão. A descrição deste processo pode ser encontrada em seu livro Mecánique Analytique. 

Dessa forma, dispensam-se as trabalhosas decomposições vetoriais recorrentes na Mecânica de Newton. De fato, normalmente não é necessário recorrer a nenhum vetor, tudo é resolvido com escalares. Mas, muito mais do que isso, o poder da Mecânica de Lagrange, cujo conjunto das extensões por diversos matemáticos e mecanicistas é conhecido como Mecânica Analítica, deriva de um fato inédito: é possível descrever toda a Mecânica com um único princípio, uma única fórmula, um único conceito. A saber:

Nesta equação, a equação de Lagrange, o que significam Q e q? A resposta revela uma das maiores ferramentas da Mecânica Analítica, conseqüência da genialidade de Lagrange e apresentada em seu livro: Q é a força generalizada e qi são as coordenadas generalizadas. As coordenada retangulares x y z, tão usuais, frequentemente descrevem os sistemas de forma menos simples e compacta. Por exemplo, a melhor forma de descrever os pontos pertencentes a uma casca cilíndrica e a uma casca esférica são, respectivamente, as coordenadas conhecidas como cilíndricas e esféricas, velhas conhecidas da comunidade matemática. Generalizando este conceito, podemos entender tais coordenadas como os ângulos e deslocamentos que melhor (e unicamente!) descrevem o movimento do sistema, como exemplificado abaixo. 

Como é de se esperar, é necessário que não apenas haja uma correspondência biunívoca entre as coordenadas generalizadas e as retangulares ou, de forma mais geral, entre o próprio estado do sistema. 

Analogamente, a força generalizada pode ser compreendida como uma força ou um momento (torque) com a capacidade de acelerar algum componente do sistema. De fato, não é necessário que as coordenadas generalizadas sejam deslocamentos ou ângulos nem que a força generalizada seja uma força ou um momento, mas sim que o produto Qq tenha a unidade de trabalho ou energia: Joule. 

Compreendidos tais conceitos, pode-se aplicar a Equação de Lagrange a qualquer sistema mecânico da seguinte forma: 

 - Definimos as n coordenadas generalizadas de maior interesse, uma para cada grau de liberdade independente. 

- Calculamos o valor da energia cinética e da força generalizada em função destas coordenadas generalizadas. 

- Escrevemos n equações de Lagrange para cada coordenada generalizada escolhida. 

O sistema de equações resultante apresentará n equações diferenciais ordinárias de segunda ordem lineares ou não lineares. No caso em que são não lineares, podem apresentar sob certas condições o que denominamos comportamento caótico, mas isto é assunto para outro paper. Em posse das equações diferenciais, podemos integrá-las e obter as soluções analíticas ou, dada a dificuldade de se fazer isso normalmente, simulá-las numericamente com o auxílio de um computador.

A Equação de Euler

Leonhard Euler, matemático e mecanicista suíço, pode ser considerado sob muitos aspectos o maior matemático que já existiu (estima-se que tenha publicado 866 artigos científicos). Orientou Lagrange na Universidade e o indicou para substituí-lo como diretor da Academia de Berlin, entre outros fatos.  O Cálculo Variacional permite demonstrar a Equação de Euler de uma forma totalmente diferente, ao empregar o chamado Princípio da Mínima Ação ou Princípio de Hamilton.

Inicialmente, a despeito de qualquer interpretação física, propõe-se a resolução de uma problema relacionado a extremizar (maximizar, minimizar ou tornar estacionário) funcionais, como será explicado com detalhes adiante. Ao resolver o problema, obtém-se a Equação de Euler do Cálculo Variacional – é mais prudente adicionar qual o campo do conhecimento, dado que “equação de Euler” e “teorema de Euler” significam muitas coisas dependendo do conceito.

O Princípio da Mínima Ação afirma que dentre todos os movimentos que um sistema pode realizar entre dois instantes, ele sempre executa aquele que minimiza ou deixa estacionária a função Ação. A função Ação, de difícil compreensão, pode ser entendida como uma espécie de balaço energético do sistema.

Aplicando tal princípio à equação de Euler obtemos a Equação de Lagrange, que por isso às vezes é denominada Equação de Euler-Lagrange.

As Leis de Newton

A Mecânica Newtoniana, concebida primordialmente por Isaac Newton no século XVII, baseia-se fundamentalmente em três Leis, que, para evitar certos problemas de lógica, podem ser escritas sob a forma:

1) Se a resultante das forças sob um corpo é nula, ele está em repouso em relação a algum referencial inercial.
- Evidentemente, se o corpo realiza um movimento retilíneo uniforme em relação a algum referencial inercial, está em repouso em relação a outro que também realiza um movimento retilíneo uniforme e com vetor velocidade idêntico ao seu.

2) A aceleração é diretamente proporcional à resultante das forças que agem em um corpo, com um fator de proporcionalidade, chamado de massa do corpo m.

3) À toda força corresponde uma reação de mesma magnitude, na mesma direção e sentido oposto.
- A 3ª Lei não é geral: partículas muito distantes submetidas a forças eletromagnéticas violam-na, dado que a velocidade limite do universo, como postulado por Einstein, é c (a velocidade da luz ou das ondas eletromagnéticas no vácuo).