Leonhard Euler, matemático e mecanicista suíço, pode ser considerado sob muitos aspectos o maior matemático que já existiu (estima-se que tenha publicado 866 artigos científicos). Orientou Lagrange na Universidade e o indicou para substituí-lo como diretor da Academia de Berlin, entre outros fatos. O Cálculo Variacional permite demonstrar a Equação de Euler de uma forma totalmente diferente, ao empregar o chamado Princípio da Mínima Ação ou Princípio de Hamilton.
Inicialmente, a despeito de qualquer interpretação física, propõe-se a resolução de uma problema relacionado a extremizar (maximizar, minimizar ou tornar estacionário) funcionais, como será explicado com detalhes adiante. Ao resolver o problema, obtém-se a Equação de Euler do Cálculo Variacional – é mais prudente adicionar qual o campo do conhecimento, dado que “equação de Euler” e “teorema de Euler” significam muitas coisas dependendo do conceito.
O Princípio da Mínima Ação afirma que dentre todos os movimentos que um sistema pode realizar entre dois instantes, ele sempre executa aquele que minimiza ou deixa estacionária a função Ação. A função Ação, de difícil compreensão, pode ser entendida como uma espécie de balaço energético do sistema.
Aplicando tal princípio à equação de Euler obtemos a Equação de Lagrange, que por isso às vezes é denominada Equação de Euler-Lagrange.
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