A Equação de Lagrange

No século XVIII, Joseph-Louis Lagrange vislumbrou toda a Mecânica sob uma nova perspectiva, definindo uma nova função L, chamada posteriormente de Lagrangiana em sua homenagem, representativa do balanço energético do sistema. L = T – V, em que T é a energia cinética e V é a energia potencial do sistema em questão. A descrição deste processo pode ser encontrada em seu livro Mecánique Analytique. 

Dessa forma, dispensam-se as trabalhosas decomposições vetoriais recorrentes na Mecânica de Newton. De fato, normalmente não é necessário recorrer a nenhum vetor, tudo é resolvido com escalares. Mas, muito mais do que isso, o poder da Mecânica de Lagrange, cujo conjunto das extensões por diversos matemáticos e mecanicistas é conhecido como Mecânica Analítica, deriva de um fato inédito: é possível descrever toda a Mecânica com um único princípio, uma única fórmula, um único conceito. A saber:

Nesta equação, a equação de Lagrange, o que significam Q e q? A resposta revela uma das maiores ferramentas da Mecânica Analítica, conseqüência da genialidade de Lagrange e apresentada em seu livro: Q é a força generalizada e qi são as coordenadas generalizadas. As coordenada retangulares x y z, tão usuais, frequentemente descrevem os sistemas de forma menos simples e compacta. Por exemplo, a melhor forma de descrever os pontos pertencentes a uma casca cilíndrica e a uma casca esférica são, respectivamente, as coordenadas conhecidas como cilíndricas e esféricas, velhas conhecidas da comunidade matemática. Generalizando este conceito, podemos entender tais coordenadas como os ângulos e deslocamentos que melhor (e unicamente!) descrevem o movimento do sistema, como exemplificado abaixo. 

Como é de se esperar, é necessário que não apenas haja uma correspondência biunívoca entre as coordenadas generalizadas e as retangulares ou, de forma mais geral, entre o próprio estado do sistema. 

Analogamente, a força generalizada pode ser compreendida como uma força ou um momento (torque) com a capacidade de acelerar algum componente do sistema. De fato, não é necessário que as coordenadas generalizadas sejam deslocamentos ou ângulos nem que a força generalizada seja uma força ou um momento, mas sim que o produto Qq tenha a unidade de trabalho ou energia: Joule. 

Compreendidos tais conceitos, pode-se aplicar a Equação de Lagrange a qualquer sistema mecânico da seguinte forma: 

 - Definimos as n coordenadas generalizadas de maior interesse, uma para cada grau de liberdade independente. 

- Calculamos o valor da energia cinética e da força generalizada em função destas coordenadas generalizadas. 

- Escrevemos n equações de Lagrange para cada coordenada generalizada escolhida. 

O sistema de equações resultante apresentará n equações diferenciais ordinárias de segunda ordem lineares ou não lineares. No caso em que são não lineares, podem apresentar sob certas condições o que denominamos comportamento caótico, mas isto é assunto para outro paper. Em posse das equações diferenciais, podemos integrá-las e obter as soluções analíticas ou, dada a dificuldade de se fazer isso normalmente, simulá-las numericamente com o auxílio de um computador.