Problema - OBM

A Olimpíada Brasileira de Matemática é merecidamente considerada uma das mais difíceis pelo menos da América Latina. Não é à toa que os brasileiros têm conquistado muitas medalhas na Olimpíada do Cone Sul e até mesmo na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO).

A seguir, mostrarei um exemplo de problema e em seguida sua resolução.

PROBLEMA 1 – FASE FINAL – NIVEL 3 – XXXI OBM - 2009

Esmeralda escreve 2009² números inteiros em uma tabela com 2009 linhas e 2009 colunas, colocando um número em cada casa da tabela. Ela soma corretamente os números em cada linha e em cada coluna, obtendo 4018 resultados. Ela percebeu que os resultados são todos distintos. É possível que esses resultados sejam todos quadrados perfeitos?

Nota: contribuições de Wagner Cháves para essa resolução.

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 4

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 3

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 2

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 1

Logaritmos e Exponenciais - Introdução

A seguir, uma série de posts esclarecendo de uma vez por todas o que são os logaritmos e as exponenciais.

O autor, José Carlos Eidam, é pesquisar e professor do Instituto de Matemática e Estatística da USP e, atualmente, meu professor de Cálculo IV. Ele permitiu que eu publicasse todo o rigor matemático por trás destas importantes funções matemáticas.

Percebamos que o raciocínio parece estar inverso: ele começa definindo o logaritmo natural como uma integral e, a partir das propriedades das integrais, demonstra propriedades dos logaritmos e termina por apresentar a exponencial como a função inversa do logaritmo.

Belíssimo.

Bonito Somatório

Quem acompanhou as demonstrações acerca de Integrais de Polinomiais viu, em meio a um lema, um somatório com propriedades muito especiais. Demonstrei a existência de um somatório cujo valor independe dos índices superior e inferior. Bonito, não?