Logaritmos e Exponenciais - Introdução

A seguir, uma série de posts esclarecendo de uma vez por todas o que são os logaritmos e as exponenciais.

O autor, José Carlos Eidam, é pesquisar e professor do Instituto de Matemática e Estatística da USP e, atualmente, meu professor de Cálculo IV. Ele permitiu que eu publicasse todo o rigor matemático por trás destas importantes funções matemáticas.

Percebamos que o raciocínio parece estar inverso: ele começa definindo o logaritmo natural como uma integral e, a partir das propriedades das integrais, demonstra propriedades dos logaritmos e termina por apresentar a exponencial como a função inversa do logaritmo.

Belíssimo.

Bonito Somatório

Quem acompanhou as demonstrações acerca de Integrais de Polinomiais viu, em meio a um lema, um somatório com propriedades muito especiais. Demonstrei a existência de um somatório cujo valor independe dos índices superior e inferior. Bonito, não?

Integrais de Polinomiais - Pt. 4

Integrais de Polinomiais - Pt. 3

Integrais de Polinomiais - Pt. 2

Clique nas imagens caso não consiga visualizá-las.

Integrais de Polinomiais - Pt. 1

Clique nas imagens caso não consiga visualizá-las.

(perceba que os desenhos não estão 100% coerentes com o texto)

Integral de Polinomiais - Introdução

A seguir haverá uma série de posts acerca de integrais de polinomais. No ano passado, fascinado pela definição rigorosa de Integral de Riemann dizendo que a integral é o limite da soma das áreas de retângulos sob uma curva, decidi tentar pôr em prática a definição.

Então, usando Matemática Elementar (e 1 limite trivial!) consegui deduzir a fórmula da integral indefinida de uma polinomial qualquer. Vamos poder ver uma relação MUITO interessante entre a fórmula para somar potências dos naturais (1+2+3+4+...+n, ou 1²+2²+3²+4²+...n², etc.) e a fórmula da integral.

Mal sabia eu que Fermat havia feito a mesma coisa séculos atrás (e de forma mais simples).