A Equação de Euler

Leonhard Euler, matemático e mecanicista suíço, pode ser considerado sob muitos aspectos o maior matemático que já existiu (estima-se que tenha publicado 866 artigos científicos). Orientou Lagrange na Universidade e o indicou para substituí-lo como diretor da Academia de Berlin, entre outros fatos.  O Cálculo Variacional permite demonstrar a Equação de Euler de uma forma totalmente diferente, ao empregar o chamado Princípio da Mínima Ação ou Princípio de Hamilton.

Inicialmente, a despeito de qualquer interpretação física, propõe-se a resolução de uma problema relacionado a extremizar (maximizar, minimizar ou tornar estacionário) funcionais, como será explicado com detalhes adiante. Ao resolver o problema, obtém-se a Equação de Euler do Cálculo Variacional – é mais prudente adicionar qual o campo do conhecimento, dado que “equação de Euler” e “teorema de Euler” significam muitas coisas dependendo do conceito.

O Princípio da Mínima Ação afirma que dentre todos os movimentos que um sistema pode realizar entre dois instantes, ele sempre executa aquele que minimiza ou deixa estacionária a função Ação. A função Ação, de difícil compreensão, pode ser entendida como uma espécie de balaço energético do sistema.

Aplicando tal princípio à equação de Euler obtemos a Equação de Lagrange, que por isso às vezes é denominada Equação de Euler-Lagrange.

As Leis de Newton

A Mecânica Newtoniana, concebida primordialmente por Isaac Newton no século XVII, baseia-se fundamentalmente em três Leis, que, para evitar certos problemas de lógica, podem ser escritas sob a forma:

1) Se a resultante das forças sob um corpo é nula, ele está em repouso em relação a algum referencial inercial.
- Evidentemente, se o corpo realiza um movimento retilíneo uniforme em relação a algum referencial inercial, está em repouso em relação a outro que também realiza um movimento retilíneo uniforme e com vetor velocidade idêntico ao seu.

2) A aceleração é diretamente proporcional à resultante das forças que agem em um corpo, com um fator de proporcionalidade, chamado de massa do corpo m.

3) À toda força corresponde uma reação de mesma magnitude, na mesma direção e sentido oposto.
- A 3ª Lei não é geral: partículas muito distantes submetidas a forças eletromagnéticas violam-na, dado que a velocidade limite do universo, como postulado por Einstein, é c (a velocidade da luz ou das ondas eletromagnéticas no vácuo).