Qual o tamanho do infinito? - Pt. 1

Para responder a esta perguntar, temos que saber primeiro quem foi Georg Cantor. Georg Ferdinand Ludwig Phillip Cantor (1845 - 1918) nasceu na Rússia mas viveu na Alemanha, estudando com grandes nomes (Weierstrass e Kummer). É amplamente conhecido pelos trabalhos na Teoria dos Conjuntos e pela proposição de conceitos muito importantes, como cardinalidade de um conjunto (cardinalidade é a quantidade de elementos do conjunto) e número transfinito (a cardinalidade de um conjunto infinito é um número transfinito). A Hipótese nos fascina tanto por envolver conceitos interessantes e contra intuitivos, como o tamanho dos infinitos: são todos iguais?

Cantor provou que:

i) a cardinalidade do conjunto dos naturais é a mesma dos inteiros e dos racionais [traduzindo: o infinito dos naturais é tão grande quanto o dos inteiros e o dos racionais]. A letra dada por Cantor para representar essa cardinalidade foi a 1ª letra do alfabeto hebraico aleph com o índice zero:

ii) a cardinalidade do conjunto dos reais é maior que aleph zero [ou seja, o infinito dos reais é maior que o dos naturais, inteiros e racionais]. Escrevemos que é aleph um:

Repita qualquer das afirmações acima para colegas de colégio ou faculdade leigos e você será considerado louco e rapidamente excluído do círculo social deles.

De fato, você seria banido e excomungando do convívio de todos os matemáticos pré-cantorianos se dissesse isso. Já dizia Gauss, que briga pelo posto de maior gênio matemático da história com uma meia dúzia de caras: "Eu protesto contra o uso de uma quantidade infinita como qualquer coisa completa, o que não é nunca possível em Matemática. O infinito é meramente uma maneira de falar, significando em verdade um limite do qual certas razões se aproximam indefinidamente perto."

A pergunta de Cantor foi a seguinte: existe algum conjunto cuja cardinalidade é intermediária entre essas duas, ou seja, maior que a dos racionais e menor que a dos reais? Existe algum infinito entre estes dois?

Esta é a Hipótese do Contínuo.

Quando Hilbert propôs sua lista de 23 problemas (1990) para a comunidade físico-matemática, este foi o 1º, e considera-se que tenha sido resolvido por Paul Cohen em 1963, após as contribuições de Kurt Gödel em 1938.

As Hipóteses do Contínuo

Achei de bom tom uma justificativa para o nome do blog. Então, darei uma breve explicação do significado das Hipóteses do Contínuo!

Primeiramente, há duas Hipóteses do Contínuo bem diferentes. Uma na área da Matemática conhecida como Teoria dos Conjuntos e é devida a Cantor. A segunda no contexto da Mecânica dos Fluidos e é a condição inicial básica sobre a qual se apóiam as teorias clássicas desta matéria.